新工科理念下的线性代数（6篇）新工科理念下的线性代数 沈阳药科大学选修课结课论文 沈阳药科大学 浅谈学习线性代数的心得体会 学校:沈阳药科大学姓名：郑亚娟学号:1０１06331专业下面是小编为大家整理的新工科理念下的线性代数（6篇）,供大家参考。
篇一：新工科理念下的线性代数
沈阳药科大学选修课结课论文
沈阳药科大学
浅谈学习线性代数的心得体会
学校:沈阳药科大学姓名：郑亚娟学号:1０１06331专业：药物制剂年级:2０１0级班级：03班
一、内容摘要
线性代数是一门较抽象的数学课程,但是线性代数除了其抽象之外还具有另外一个重要的特点:“实用性”,由于计算机的飞速发展和广泛应用，线性代数已成为越来越多的科技工作者必不可少的数学工具。掌握线性代数的基本概念、基本理论与基本方法，为解决工科各专业的实际问题，为进一步学习相关课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础．
在初步学习了高等数学这门课程后,里面涉及了一些线性代数的求解方法,听老师说，某些题目用线性代数的方法求解更容易，但是由于我们还未系统的学习这门课程,老师也是一带而过,并未深讲。致使我对线性代数这门学科有了浓厚的兴趣,在首先简单了解了这门学科的背景后，发现线性代数是一门丰富多彩充满未知的科学，在看到学校开设了这门课程的选修课后,我义无反顾的叫我们全寝室的人都选修了这门奇妙的课程。
学习线性代数的初步感受就是它的概念多，推理论证多,基本理论与结论多,线性代数在内容上,思想方法上及论证方法上都与“高等数学”有所区别。它具有较强的逻辑性和抽象性，一开始就要高度重视。它又与中学所学的代数有一定的联系,所以有些内容并不是完全陌生的。
我相信只要我每节每章地，一步一个脚印的弄懂、弄通，记住有关的概念和结论,并通过反复的应用(练习）来掌握它，循序渐进掌握这门课程是容易的。
关键词：数学线性代数背景应用计算方法感受
二、绪论
2。1线性代数的发展史由于费马和笛卡儿的工作,线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数
的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡，矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因若当的工作而达到了它的顶点。１8８8年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不依
赖于基的选择.不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念,这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1８59年,清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”,之后一直沿用.
２。２线性代数在数学中的地位线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
①性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。
②计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。
③线性代数这门学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。
④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
2。3课程主要内容
㈠行列式
①阶与三阶行列式的计算——对角线法则
x12x2x32,
例:解线性方程组2x1x23x31,
x1
x2
x3
0.
解:由于方程组的系数行列式
121
D213111231121111
111
22113150,
同理可得
221
121
12
故D方1程组1的解为1：x101
31
DD15,
1,D2
x221
1D20D
23,1
10,x3D3
D3D
21.1
11
215,0
②全排列及其逆序数
例:用两种方法求排列1635２487的逆序数。
解:方法１
1６3524８7
t031210108
方法2
由前向后求每个数的逆序数。
ﻩt001132018.
③n阶行列式的定义:n阶行列式(定义１）设有ｎ＾2个数,排成n行ｎ列的表，作出表中
位于不同行不同列的ｎ个数的乘积,并冠以符号（—１)ｔ,的形式如下的项,其中为自然数
１,２，..．，ｎ的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n！个,这ｎ！项
的代数和称为n阶行列式.
④对换的定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对
换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
⑤行列式的性质及应用
⑥克拉默法则的应用
㈡矩阵
①矩阵及矩阵的运算
②逆矩阵的概念和性质及其求法
③分块矩阵的运算法则
④矩阵的初等变换及消元法
⑤线性方程组的解
x12x2x3x40
例
求解齐次线性方程组
2x1x22x32x40
.
x1x24x33x40
解：
A
对系数矩阵A实施初等行变化
121
211
224
12
3
1r222r12
0
0
r333r1
66
14
4
10
21
22
14
0
0
0
30
1
0
2
53
0
1
2
43
000
0
r3r2r2(3)
r12r2
即得与原方程组同解的方程组
x
1
x2
2x32x3
53
x4
43
x4
0,0,
由此即得
x1
x2
2x32x3
53
x4,
43
x4,
(
x3,x4
可任意取值).
令x3c1,x4c2，把它写成通常的参数形式
x3
x1
2c2
53
c2
,
x2
2c2
43
c2,
c1,
x4c2,
x1
x2
xx
34
2
c1
210
53
c2
43
.
0
1
⑥初等矩阵的概念及其应用㈢N维向量①N维向量的概念及其表示方法
②向量组线性相关性的概念及判定③向量组的秩与矩阵的关系④向量空间的概念及其基与维数⑤线性方程组的解的结构
㈣相似矩阵与二次型
①矩阵的特征值与特征向量及其求法②相似矩阵及其性质③矩阵对角化的充要条件及其方法④实对称矩阵的相似对角矩阵
⑤二次型及其矩阵表示
⑥线性无关的向量组正交规范化的方法⑦正交变换与正交矩阵的概念及性质⑧用正交变换化二次型为标准形⑨用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形
⑩惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别
三、心得体会
从素未谋面到一知半解，或许将来会有相见恨晚。总之到现在为止,经过将近一个３0个学时的学习,我对线性代数有了一些小小的感想。
首先,我从一些资料了解到线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间,线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何,线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型,使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
其次,通过查阅资料、阅读课本及其目录,我知道了线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系,而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,并且一些非线性问题在一定条件下,可以转化或近似转化为线性问题,因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具.尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课,其地位和作用更显得重要。
而线代不同于高等数学的是，它几乎从一开始就是一个全新的概念,至少给我的感觉是这样。我们都知道,线性代数研究的范围通常都不是我们能想象到的二维空间，而是上升到n维空间,并且在线性代数的学习过程中,我们几乎都是跟一些新的概念,新的定理打交道，因此理解和记忆起来有相当大的困难，常常是花很久的时间还是理解不了。
给我们上课的姜老师对细节的要求比较高，他会时不时询问学生对知识的理解情况，经常会多次讲解，这真的是一个好现象。不过说实话,由于课时的限制，老师不可能把所有东西都讲解得很透彻,尽管老师尽力讲解了,可每次上完课我仍会有些许疑惑。
第一堂课，姜老师介绍过,线性代数主要研究了三种对象:矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此,熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去,是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性。
俗话说得好:“学而不思则罔”.记得姜老师说过,当给你一个信息的时候,尤其是一些不太
明显的信息,你要能立刻理解它的内涵，也就是说能够马上联想到与它等价的一些信息。比如说,告诉你一个矩阵是非奇异矩阵，它包含的信息有：首先明确它是一个n阶方阵，它的秩是n，它便是满秩矩阵,它所对应的n阶行列式不等于零，那么ｎ个n维向量便线性无关,还有这个方阵是可逆方阵,并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的•,还有一点,在线性代数的学习过程中，有些定理或推论是没有必要去背的，因为它们就是另外某个定理的特殊情况，只要我们稍微思考一下,完全可以自己概括,没有必要多记几个来增加自己的记忆负担。比如说向量组的线性相关性的定理6的推论2:“当ｍ〉ｎ时,m个n维向量一定线性无关”,看过定理6后你会觉得这完全就是废话嘛,所以要善于总结提高效率。再有就是在记忆一些定理概念的时候,不一定非得按原文记忆,我们可以按照自己的理解来记忆。在学习线性代数的过程中，联想和思考是非常重要的,通过联想和思考,把学过的知识点串起来,深化理解,我们才能把线性代数学得更好。
到现在为止，我们的线性代数课程已经快接近尾声了，但是我相信大多数同学跟我一样只感受到了线性代数的较强的逻辑性和超强的抽象性,对于所谓的广泛的实用性，并没有太深刻的体会。说得更加“肤浅"一点,从我们的专业相关性来说,我们并不是很清楚线性代数对我们今后的专业学习有多大的帮助，我想这是许多学生对线性代数的学习热情不高的原因之一吧。事实也是这样,工科学生的线性代数课本跟理科学生是不一样的，最明显的区别就是我们工科课本中没有与实际应用相关的问题,都是一些计算证明题，老师在授课的过程中也没怎么提及.不过我想这是因为对我们的要求有所不同吧，毕竟连基本概念都难以理解完全，又怎么谈得上应用呢，不管怎么说都得先把基础打好吧．
开设任何一门学科都有它自己的作用,通过学习它们，我们可以培养各种各样的能力，我相信只要抱着一颗热爱的心认真去学,不管结果怎么样,我们都是收获的。
四、参考文献
1.《线性代数》——百度百科2.吉志明数学-—不仅仅需要逻辑—大学数学-2003,1９（5)3.吴耀强关于理工科大学生数学创造性思维培养之探究—大学数学—20０7，23(5)4.同济大学数学教研室编.线性代数(第三版）。北京:高等教育出版社5.姜希伟《线性代数》教学课件
篇二：新工科理念下的线性代数
课程名称：线性代数Ⅱ课程编码：7101211课程学分：3学分课程学时：48学时适用专业：经管学院二年级学生分层教学A层
《线性代数II》（A层）(LinearAlgebraII（A）)
教学大纲
一、课程性质与任务本大纲依照国家教委批准的高等工科学校《线性代数课程教学大体要求》及教育部考
试中心发布的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》（数学一）制订而成。《线性代数Ⅰ》是高等工科学校教学打算中的一门基础课,为理工科专业开设。线性代
数中经常使用的公理化概念、特有的理论体系、严格的推理论证及抽象的思维方式都有它自身的特色，具有其他课程无法取代的作用，专门是随着运算机的飞速进展与普遍应用，许多实际问题能够离散化、线性化，并通过数值计算取得定量解决，于是，作为处置离散问题与线性问题的重要理论、方式和工具的线性代数，更进一步显示其特殊重要的地位，从而成为科学技术人材必备的数学基础。
解大型线性方程组、进行矩阵计算已成为科学技术人员常常碰到的问题，因此本课程所介绍的方式普遍地应用于各个学科，这就要求学生必需具有本课程的大体理论知识，并熟练地把握它的大体方式。
《线性代数Ⅰ》是以讨论线性方程组理论有限维线性空间理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生的科学素养取得进一步的提高，而且取得应用科学中经常使用的行列式、矩阵、线性方程组等理论及其有关大体知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方式解决一些实际问题的能力，从而为学习后续课程及进一步扩大数学知识打下良好的数学基础。二、课程教学大体内容及要求
1、教学大体内容行列式的概念，明白得行列式的性质，明白得按行（列）展开定理，行列式的计算方式，矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、对称与反对称矩阵的一些大体性质，矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律，逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，求逆矩阵的方式（伴随矩阵法、初等变换法），矩阵的初等变换，矩阵秩的概念，求矩阵秩的方式，分块矩阵及其运算，向量组的线性相关、线性无关概念，向量组的最大无关组，向量组的秩的概念，求最大无关组及向量组的秩的方式，n维向量空间、子空间、基、维数，克莱姆法那么，非齐次线性方程组有解的充要条件，齐次线性方程组有非零解的充要条件，线性方程组的基础解系、
通解等概念及解的结构，用初等行变换求线性方程组通解的方式，矩阵的特点值与特点向量的概念，相似矩阵的概念及性质，矩阵可对角化的充要条件，化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法），正交变换与正交矩阵的概念及性质，线性无关的向量组正交标准化的方式，二次型的概念及二次型的矩阵表示，合同变换的概念，用正交变换化二次型为标准型的方式，惯性定理，二次型的秩，正定二次型的概念及其判别法那么，线性空间、子空间的概念，基、坐标的概念，基变换、坐标变换等概念
2、教学大体要求本课程内容要求的高低用不同辞汇加以区分：从高到低以“把握”、“明白得”、“了解”、三级区分；“会”或“能”相当于“了解”。（一）行列式(1)了解行列式的概念。(2)把握行列式的性质。(3)明白得按行（列）展开定理。(4)会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。重点：行列式的计算方式难点：按行（列）展开定理（二）矩阵(1)明白得矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称与反对称矩阵的一些大体性质。(2)把握矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。(3)明白得逆矩阵的概念，把握逆矩阵的性质和矩阵可逆的充分必要条件，明白得伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。(4)明白得矩阵初等变换的概念，了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，明白得矩阵的秩的概念，把握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方式。(5)了解分块矩阵及其运算。重点：矩阵的运算，求逆矩阵、矩阵秩的方式难点：分块矩阵及其运算（三）向量空间(1)了解向量的概念，把握向量的加法和数乘运算法那么。(2)明白得向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，把握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。(3)明白得向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
(4)明白得向量组等价的概念，明白得矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系。(5)了解线性空间、子空间的概念。(6)了解基、维数、坐标、标准正交基等概念。(7)了解基变换、坐标变换公式，会求过渡矩阵。
重点：向量组的线性相关性，求最大无关组及向量组的秩的方式,基、坐标的概念，基变换，坐标变换
难点：向量组的线性相关性,基变换，坐标变换（四）线性方程组(1)会用克莱姆法那么。(2)明白得非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。(3)明白得线性方程组的基础解系、通解及解空间等概念及解的结构。(4)把握用初等行变换求线性方程组通解的方式。重点：线性方程组的基础解系、通解等概念及解的结构，用初等行变换求线性方程组通解的方式难点：用初等行变换求线性方程组通解的方式（五）矩阵的特点值与特点向量(1)明白得矩阵的特点值与特点向量的概念，把握矩阵特点值的性质，把握求矩阵特点值和特点向量的方式。(2)明白得相似矩阵的概念及性质，了解矩阵可对角化的充要条件。(3)把握实对称矩阵的特点值和特点向量的性质。(4)把握化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法）(5)明白得正交变换与正交矩阵的概念及性质。(6)了解内积的概念，把握线性无关的向量组正交标准化的方式。(7)了解标准正交基、正交矩阵的概念和它们的性质。重点：矩阵可对角化的充要条件，化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法）难点：矩阵可对角化的充要条件（六）二次型(1)把握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念。(2)了解合同变换与合同矩阵的概念，会用合同变换化二次型为标准形。(3)了解二次型的标准形、标准形的概念和惯性定理。(4)把握用正交变换二次型为标准形的方式，会用配方式化二次型为标准形。(5)明白得正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法那么。重点：用正交变换二次型为标准型的方式，正定二次型的概念及其判别法那么难点：惯性定理，正定二次型、正定矩阵的判别法那么
三、本课程与其它相关课程的联系与分工
本课程属基础理论课，自成体系。
四、实践性教学内容的安排与要求
无。
五、课程各篇章（节）学时分派
教学内容
讲课实验习题课
1．行列式
6
2．矩阵
6
2
3.向量空间
6
2
4.线性方程
6
2
5.矩阵的相似对角化
6
2
6.二次型
8
2
合计
48
六、本课程在课外练习方面的要求为保证达到本课程的教学目的和教学要求，必需布置适量的课外作业，原那么上可安排
28小时的课外作业。本课程有统一指定的作业，编写的作业练习册已由清华大学出版社出版发行，作业量为8次大体作业和6次提高作业，每次作业大约2个小时可完成。
七、本课程在利用现代化教学手腕方面的要求
本课程属基础理论课。为更充分地利用课时，加大课堂信息量，应适当利用多媒体教学
手腕。
八、教材及教学参考书
教材:《线性代数及其应用》，邹杰涛张杰主编，科学出版社，2021年8月。
参考书:《线性代数》，同济大学数学教研室编，高等教育出版社，2021年6月第六版。
《线性代数提高》，邹杰涛张杰主编，中国财政经济出版社，2020年10月。
九、本课程成绩的考核方式、成绩评定标准及其它有关问题的说明
按期考试和平常作业双向考查。采纳闭卷笔试，要求卷面内容覆盖本大纲80%以上。以
百分制评定成绩，平常成绩占30%，期末成绩占70%。
十、其它类别问题的说明
大纲撰写人：刘波
大纲审阅人：邹杰涛
系负责人：
张杰
学院负责人：李红梅
修订日期：2017年7月
课程名称：线性代数Ⅱ课程编码：7101211课程学分：3学分课程学时：48学时适用专业：经管学院二年级学生分层教学B层
《线性代数II》（B层）(LinearAlgebraII（B）)
教学大纲
一、课程性质与任务本大纲依照国家教委批准的高等工科学校《线性代数课程教学大体要求》及教育部考
试中心发布的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》（数学一）制订而成。《线性代数Ⅰ》是高等工科学校教学打算中的一门基础课,为理工科专业开设。线性代
数中经常使用的公理化概念、特有的理论体系、严格的推理论证及抽象的思维方式都有它自身的特色，具有其他课程无法取代的作用，专门是随着运算机的飞速进展与普遍应用，许多实际问题能够离散化、线性化，并通过数值计算取得定量解决，于是，作为处置离散问题与线性问题的重要理论、方式和工具的线性代数，更进一步显示其特殊重要的地位，从而成为科学技术人材必备的数学基础。
解大型线性方程组、进行矩阵计算已成为科学技术人员常常碰到的问题，因此本课程所介绍的方式普遍地应用于各个学科，这就要求学生必需具有本课程的大体理论知识，并熟练地把握它的大体方式。
《线性代数Ⅰ》是以讨论线性方程组理论有限维线性空间理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生的科学素养取得进一步的提高，而且取得应用科学中经常使用的行列式、矩阵、线性方程组等理论及其有关大体知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方式解决一些实际问题的能力，从而为学习后续课程及进一步扩大数学知识打下良好的数学基础。二、课程教学大体内容及要求
1、教学大体内容行列式的概念，明白得行列式的性质，明白得按行（列）展开定理，行列式的计算方式，矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、对称与反对称矩阵的一些大体性质，矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律，逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，求逆矩阵的方式（伴随矩阵法、初等变换法），矩阵的初等变换，矩阵秩的概念，求矩阵秩的方式，分块矩阵及其运算，向量组的线性相关、线性无关概念，向量组的最大无关组，向量组的秩的概念，求最大无关组及向量组的秩的方式，n维向量空间、子空间、基、维数，克莱姆法那么，非齐次线性方程组有解的充要条件，齐次线性方程组有非零解的充要条件，线性方程组的基础解系、
通解等概念及解的结构，用初等行变换求线性方程组通解的方式，矩阵的特点值与特点向量的概念，相似矩阵的概念及性质，矩阵可对角化的充要条件，化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法），正交变换与正交矩阵的概念及性质，线性无关的向量组正交标准化的方式，二次型的概念及二次型的矩阵表示，合同变换的概念，用正交变换化二次型为标准型的方式，惯性定理，二次型的秩，正定二次型的概念及其判别法那么，线性空间、子空间的概念，基、坐标的概念，基变换、坐标变换等概念
2、教学大体要求本课程内容要求的高低用不同辞汇加以区分：从高到低以“把握”、“明白得”、“了解”、三级区分；“会”或“能”相当于“了解”。（一）行列式(1)明白得行列式的概念。(2)明白得行列式的性质。(3)明白得按行（列）展开定理。(4)把握三、四阶行列式的计算方式，会计算简单的n阶行列式。重点：行列式的计算方式难点：按行（列）展开定理（二）矩阵(1)明白得矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称与反对称矩阵的一些大体性质。(2)把握矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律。(3)明白得逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，把握求逆矩阵的方式（伴随矩阵法、初等变换法）。(4)把握矩阵的初等变换、初等矩阵，明白得矩阵秩的概念，把握求矩阵秩的方式。(5)明白得分块矩阵及其运算。重点：矩阵的运算，求逆矩阵、矩阵秩的方式难点：分块矩阵及其运算（三）向量空间(1)明白得向量组的线性相关、线性无关概念，并明白得有关的重要结论。(2)明白得向量组的极大无关组及向量组的秩的概念，把握求极大无关组及向量组的秩的方式。(3)了解线性空间、子空间的概念。(4)了解基、维数、坐标、标准正交基等概念。(5)了解基变换、坐标变换公式，会求过渡矩阵。重点：向量组的线性相关性，求极大无关组及向量组的秩的方式,基、坐标的概念，基变换，坐标变换
难点：向量组的线性相关性,基变换，坐标变换
（四）线性方程组
(1)明白得克莱姆法那么。
(2)明白得非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。
(3)明白得线性方程组的基础解系、通解等概念及解的结构。
(4)把握用初等行变换求线性方程组通解的方式。
重点：线性方程组的基础解系、通解等概念及解的结构，用初等行变换求线性方程组
通解的方式
难点：用初等行变换求线性方程组通解的方式
（五）矩阵的特点值与特点向量
(1)明白得矩阵的特点值与特点向量的概念。
(2)了解相似矩阵的概念及性质，明白得矩阵可对角化的充要条件。
(3)把握化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法）
(4)了解正交变换与正交矩阵的概念及性质。
(5)了解线性无关的向量组正交标准化的方式。
重点：矩阵可对角化的充要条件，化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法）
难点：矩阵可对角化的充要条件
（六）二次型
(1)了解二次型的概念及二次型的矩阵表示。
(2)了解合同变换的概念，会用合同变换化二次型为标准型。
(3)把握用正交变换二次型为标准型的方式。
(4)明白得惯性定理、二次型的秩。
(5)明白得正定二次型的概念及其判别法那么。
重点：用正交变换二次型为标准型的方式，正定二次型的概念及其判别法那么
难点：惯性定理，正定二次型的判别法那么
三、本课程与其它相关课程的联系与分工
本课程属基础理论课，自成体系。
四、实践性教学内容的安排与要求
无。
五、课程各篇章（节）学时分派
教学内容
讲课实验习题课
1.行列式
6
2.矩阵
6
2
3.向量空间
8
2
4.线性方程
4
2
5.矩阵的相似对角化
8
6.二次型
8
2
合计
48
六、本课程在课外练习方面的要求为保证达到本课程的教学目的和教学要求，必需布置适量的课外作业，原那么上可安排
16小时的课外作业。本课程有统一指定的作业，编写的作业练习册已由清华大学出版社出版发行，作业量为8次大体作业，每次作业大约2个小时可完成。
七、本课程在利用现代化教学手腕方面的要求为保证达到本课程的教学目的和教学要求，必需布置适量的课外作业，原那么上可安排
16小时的课外作业。本课程有统一指定的作业，编写的作业练习册已由清华大学出版社出版发行，作业量为8次大体作业，每次作业大约2个小时可完成。
八、教材及教学参考书
教材:《线性代数及其应用》，邹杰涛张杰主编，科学出版社，2021年8月。
参考书:《线性代数》，同济大学数学教研室编，高等教育出版社，2021年6月第六版。
《线性代数提高》，邹杰涛张杰主编，中国财政经济出版社，2020年10月。
九、本课程成绩的考核方式、成绩评定标准及其它有关问题的说明
按期考试和平常作业双向考查。采纳闭卷笔试，要求卷面内容覆盖本大纲80%以上。以
百分制评定成绩，平常成绩占30%，期末成绩占70%。
十、其它类别问题的说明
大纲撰写人：刘波
大纲审阅人：邹杰涛
系负责人：
张杰
学院负责人：李红梅
修订日期：2017年7月
篇三：新工科理念下的线性代数
线性代数教学大纲
一、说明
（一）课程性质
线性代数是计算机科学与技术专业的一门专业必修基础理论课。它广泛应用于科学技术的各个领域，尤其是计算机日益发展和普及的今天，线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。
（二）教学目的
使学生熟练掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本运算，并通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力以及综合运用所学知识去分析并解决问题的能力，为后继课程的学习，从事工程技术、科学研究以及开拓新技术领域，打下坚实的基础。
（三）教学内容
主要讲授行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵的相似变换及二次型等内容。
（四）教学时数
54学时
（五）教学方式
主要采用课堂理论讲授的方式进行教学，辅以习题课、讨论课等教学形式。
二、本文
第一章行列式
教学要点：理解n阶行列式的定义及其性质；熟练掌握行列式的性质，会利用行列式的性质化简及计算行列式；熟练掌握利用行列式的按行（列）展开的方法计算行列式；会用克拉默法则求解线性方程组。教学时数：10学时教学内容：第一节行列式的定义二阶与三阶行列式；n阶行列式的定义；第二节行列式的性质行列式的性质；第三节行列式按行（列）展开余子式；代数余子式；行列式按行（列）展开法则；第四节克拉默法则克拉默法则；
1
第二章矩阵及其运算
教学要点：理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵等特殊矩阵；熟练掌握矩阵的运算及其运算性质；理解可逆矩阵的概念，熟练掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件，了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵；了解分块矩阵，会用矩阵分块法进行矩阵运算。教学时数：10学时教学内容：第一节矩阵矩阵的概念；特殊矩阵；第二节矩阵的运算矩阵的加法；数与矩阵相乘；矩阵与矩阵相乘；矩阵的转置；方阵的行列式；第三节逆矩阵逆矩阵的定义；矩阵可逆的充要条件；伴随矩阵求逆法；逆矩阵性质；第四节矩阵分块法分块矩阵及其运算；准对角矩阵与准三角矩阵及其行列式；四分块矩阵的逆矩阵；
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
教学要点：理解矩阵的初等变换、矩阵秩的概念，熟练掌握用初等行变换求矩阵的秩及可逆矩阵的逆矩阵；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件，熟练掌握用初等行变换求解线性方程组；了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，初等变换与初等矩阵之间对应关系。教学时数：10学时教学内容：第一节矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换；矩阵的等价关系；行阶梯形矩阵；行最简形矩阵；初等矩阵；用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵；第二节矩阵的秩矩阵的秩的定义；用初等行变换求矩阵的秩；矩阵的秩的基本性质；第三节线性方程组的解线性方程组无解、有唯一解、有无限多解的充要条件；齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方程组有解的充要条件；
2
第四章向量组的线性相关性
教学要点：理解下述概念：n维向量、向量组的线性组合、向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大无关组、向量组的秩以及两向量组的等价，理解向量组的线性相关的性质；矩阵的秩和向量组的秩之间的关系，掌握用初等变换求向量组的线性关系、极大无关组和秩；理解齐次线性方程组的结构、基础解系、通解的概念及非齐次线性方程组的解的结构和通解的概念；掌握用矩阵及线性方程组理论判别向量组的线性相关性；了解向量空间概念，会求向量空间的基和维数。教学时数：12学时教学内容：第一节向量组及其线性组合n维向量的定义、记法；向量的加法和数乘运算；向量的运算规律；向量能由向量组线性表示及其充要条件；向量组能由向量组线性表示及其充要条件；第二节向量组的线性相关性向量组的线性相关、线性无关；向量组的线性相关的充要条件；第三节向量组的秩向量组的极大线性无关组；向量组的秩；第四节向量空间向量空间的定义；n维向量空间；向量空间的基及维数；向量的坐标；子空间；向量内积的定义；向量的长度；第五节线性方程组的解的结构齐次线性方程组的基础解系；解空间；解的结构；非齐次线性方程组的特解及解的结构；
第五章相似矩阵及二次型
教学要点：了解向量的内积，向量的长度，规范正交基与正交矩阵等概念，掌握线性无关向量组规范正交化的施密特方法；理解方阵的特征值和特征向量的概念和性质，熟练掌握求方阵的特征值和特征向量的方法；了解相似矩阵的概念和性质，矩阵相似于对角矩阵的条件；了解实对称矩阵特征值和特征向量的性质，熟练掌握将实对称矩阵对角化的方法；掌握二次型及其矩阵的表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念，了解惯性定理；熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形的方法；了解二次型及其对应矩阵的正定性及其判别方法。教学时数：12学时教学内容：第一节向量的内积及正交性
3
向量的内积；向量的正交；标准正交基；施密特（Smite）正交化方法；正交变换的定义；正交矩阵的定义及其性质；
第二节方阵的特征值与特征向量方阵的特征值和特征向量的定义；特征多项式；特征方程；特征值、特征向量的求法及有关性质、矩阵的迹；第三节相似矩阵相似矩阵的定义和性质；矩阵可对角化的条件；第四节对称矩阵的相似矩阵对称矩阵的方阵的特征方程、特征值、特征向量；第五节二次型及其标准型二次型及其矩阵；二次型的标准型及标准化；第六节用配方法化二次型成标准型用配方法化二次型成标准型；第七节正定二次型正定二次型定义、性质；对称矩阵对角化及其正定的充分必要条件；
三、参考书目
1、同济大学数学系，《线性代数》(第五版)，高等教育出版社，2010，第5版。2、郭志梅、王曙东，《线性代数(第五版)同步辅导及习题全解》，水利水电出版社，2011，第1版。3、胡金德、李擂，《线性代数（同济五版）习题全解与考研指导》，北京理工大学出版社，2012，第1版。
篇四：新工科理念下的线性代数
《线性代数》课程教学大纲
课程编号：07066211课程名称：线性代数英文名称：LinearAlgebra课程类型：公共基础课课程要求：必修学时/学分：56/3.5适用专业：全校各理工专业一、课程性质与任务
线性代数课程是高等工科院校的一门基础理论课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。线性代数主要介绍行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、二次型理论。培养学生的抽象思维与逻辑推理能力，为学生的专业知识和后继课的学习奠定必要的数学基础。
二、课程与其他课程的联系
线性代数是各专业相应专业课的基础。
三、课程教学目标
1.学习线性代数的基本知识和基本理论，掌握常用的矩阵、行列式和线性方程组理论等基础知识，熟练掌握矩阵、行列式的基本计算，系统的了解方程组的解及解空间的结构，使学生能够掌握必要的数学运算技能和利用数学软件进行线性代数计算的能力。（支撑毕业能力要求1.1、2.1）
2.通过对向量空间的学习，使学生能对向量空间的结构及一些抽象的代数知识得到了解，理解子空间、基，维数等概念，掌握坐标变换和向量在基下的坐标。通过相似矩阵和二次型的学习，使学生学会求矩阵的特征值与特征向量的方法，能化二次型为标准型，能判别二次型的正定性。（支撑毕业能力要求1.3）
3.通过本课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论与方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；培养创新意识及能力，培养解决实际问题的能力和科学计算能力，并为学习后继相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。（支撑毕业能力要求2.1、12.2）
四、教学内容、基本要求与学时分配
序
号
教学内容
1一、矩阵与行列式1．矩阵及其运算2．行列式及其性质3．行列式的计算（重点）4．Cramer法则
学
教学要求
时
1.熟练掌握矩阵的基本运算2
2.了解几类特殊矩阵
2
3.了解行列式的定义
2
4.熟练掌握行列式的性质
2
5.掌握二、三、四阶行式的计2
教学方式
讲授
对应课程教学
目标1、3
2二、矩阵的秩与逆矩阵1.逆矩阵的概念2.矩阵可逆的充分必要条件3.伴随矩阵4.矩阵的初等变换和初等矩阵5.矩阵的秩6.初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法
3三、向量空间与线性变换1.向量的概念2.向量组的线性相关与线性无关的概念和性质3.向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系4.向量空间、基、维数等概念5.过渡矩阵，线性变换及子空间
4四、线性方程组1.线性方程组解的性质和解的结构2.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件3.非齐次线性方程组有解的充分必要条件4.齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念5.非齐次线性方程组的通解，用行初等变换求解线性方程组的方法。
5五、矩阵的特征值问题与二次型1.矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法2.相似矩阵的概念及性质，矩阵可
算法
6.会计算简单的n阶行列式2
7.理解并会应用克莱姆法则
1.理解逆矩阵的概念
2
2.掌握逆矩阵的性质以及矩阵2
可逆的充分必要条件
3.理解伴随矩阵的概念，会用2
伴随矩阵求矩阵的逆
4.掌握矩阵的初等变换，了解2
初等矩阵的性质和矩阵等价
的概念
5.理解矩阵的秩的概念，掌握2
用初等变换求矩阵的秩和逆
矩阵的方法
1.理解n维向量的概念，理解2
向量组线性相关、线性无关的
概念
2.了解并会运用有关向量组线2
性相关、线性无关的有关结论
3.了解向量组的极大线性无关2
组和向量组的秩的概念
4.熟练掌握向量组的极大线性2
无关组及秩的求法
5.了解向量组等价的概念，了2
解向量组的秩与矩阵的秩的
关系
6.了解n维向量空间、子空间、2
基、维数等概念
7.熟练掌握求解过渡矩阵，线2
性变换的方法
1.理解齐次线性方程组有非2
零解的充分必要条件及非齐
次线性方程组有解的充分
必要条件
2.理解齐次线性方程组的基础2
解系、通解及解空间的概念
3.理解非齐次线性方程组解的2
结构及通解的概念
4.掌握用行初等变换求线性方2
程组通解的方法
1.矩阵的特征值和特征向量的2
概念及性质
2.熟练掌握矩阵的特征值和特2
征向量的求解方法
讲授、1、3讲授2、3
讲授1、3讲授3
相似对角化的充分必要条件3.实对称矩阵的相似对角矩阵4.二次型及其矩阵表示5.用正交变换法化二次型为标准型6.二次型及系数矩阵的正定性及其判别法
3.理解相似矩阵的概念、性质2及矩阵可相似对角化的充分必要条件4.掌握二次型及其矩阵表示，2了解用配方法化二次型为标准型的方法5.掌握用正交变换法化二次型4为标准型的方法6.掌握二次型及系数矩阵的正2定性及其判别法
五、教学方法
本课程以课堂教学为主，结合作业及课堂测验等教学手段和形式完成课程教学任务。在课堂教学中，强调课堂教学多样化，提倡形象化、启发式、讨论式教学。教师可根据自己的特长，灵活运用可以适当增加专业方面的应用，在教学方法上重视思想，加强基础；适度削弱纯数学技巧的训练；加强应用，特别是矩阵的理论和应用和线性方程组的理论及解法。在本课程的全部教学过程中，一方面，增加数学建模知识渗透，把数学理论和方法运用到实际问题中去解决实际问题，使学生对解决过程有一定的理解和认识，增强学生学习的积极性。另一方面，加强实际应用的教学，开阔学生的眼界，扩大信息量。
六、考核方式
最终成绩由平时出勤情况、作业成绩、期末成绩等组合而成。各部分所占比例如下：出勤情况：10%。出勤与课堂表现。平时测验成绩：10%。主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。作业成绩：10%。期末考试成绩：70%。主要考核线性代数的基本概念、基本分析计算方法的掌握程度。书面考试形式。题型为1、选择题2、填空题3、计算题4、证明题等。
篇五：新工科理念下的线性代数
在交通电力运输通讯城市规划任务分配以及计算机辅助设计等诸多领域网络流模型得到广泛应用给工程问题的解决带来诸多便利一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成大多数网络流模型中的方程组包含数百个线性方程要确定每一分支的流量就是解线性方程组利用矩阵的一些特性自然而然地引入线性方程组的相关知识点
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新工科背景下线性代数教学改革初探
作者：李清华葛君琰来源：《新课程研究·下旬》2019年第08期
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摘;要：“新工科”建设旨在培养多元化、创新型卓越工程人才，线性代数是培养工程人才的数学基础课程。文章介绍了“新工科”背景下线性代数教育教学现状，在分析大学生学习心理以及教学范式改革的基础上，针对培养学生理论联系实际的能力，提出将数学建模思想融入线性代数的现代教育理念和实践路径，并列举了创新性的数学建模思想融入线性代数教学的案例。
关键词：新工科;心理认知;数学建模思想;线性代数
作者简介：李清华，烟台大学数学与信息科学学院副教授，研究方向为模糊拓扑学、模糊凸结构等;葛君琰，烟台大学数学与信息科学学院学生。（山东烟台264000）
基金项目：本文系烟台大学2017年度教改项目“在应用型本科院校线性代数教学中融入数学建模思想的研究与探析”（编号：jyxm2017001）和2018年度山东省本科教改重点项目“新工科背景下线性代数教学改革的研究与实践”（编号：Z2018S049）的研究成果。
中图分类号：G642.0;;文献标识码：A;;文章编号：1671-0568（2019）24-0036-04
一、“新工科”建设及线性代数教学现状分析
“新工科”是基于国家经济发展进入新常态，高等教育迎来新挑战而提出的教育改革新方向，其目標是培养具有创新能力、高素质的适应经济产业发展的卓越工程人才。“新工科”建设要求提高教育教学质量，并提出新的质量标准，即工程人才培养质量要面向未来。新工科必须通过人才培养理念的升华、体制机制的改革以及培养模式的创新应对现代社会的快速变化和未来不确定的变革挑战。[1]
作为“新工科”建设的重要内容，线性代数课程作为普通高校理工、经济和管理等专业的一门基础数学必修课，对数学文化的普及、学生抽象思维的培养等具有不可替代的作用。随着我国经济发展进入新常态，线性代数已经广泛应用到金融、经济、信息等领域。
受传统教学习惯的影响，目前线性代数课程主要围绕知识信息的传授，对理论背后思想及其实际背景意义讲授较少。对于课时少、抽象难懂的线性代数教学而言，如何通过改进教学方法，激发学生学习兴趣，让学生能够轻松接受所学内容，并且能够运用其解决实际问题，为新工科建设发展打下坚实的基础显得尤为重要。
二、基于学习心理需求的教学模式改革
社会越来越关注教育质量，大学生学习行为的投入与学业成就息息相关，大学生学习心理是影响其学习的主要因素之一。大学生学习心理是指大学生在学习过程中受各种内在与外在的、智力与非智力因素影响或刺激而形成的心理反应。探究大学生的学习心理，对提高学生学习能力、改善教学方法具有重要作用。
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当前大学生学习方面出现了一些困扰问题，体现出复杂性、矛盾性、变化性、消极性的特点，主要表现在以下方面：①缺乏学习动机，学习目的不明确。学习动机过于功利化，只停留在满足愿望的层面。学习内容多关于社会实惠性、功利性方面，只是为了考试而学习，仍倾向于应试教育。②缺乏学习兴趣，对于学习内容最多只能应付考试，并不能将其应用到现实生活中。③学习内容浮浅，缺乏自学能力。受应试教育的影响，学生一味地等待教师灌输知识，缺乏自己动手探索新知识的精神。[2]
新工科背景下以培养人才为目的的线性代数教学改革，通俗而言是教学范式的根本转型，即从“知识传递型”教学转变为“知识建构型”教学。作为一种行为主义教学观的“知识传递型”教学，知识主要靠练习获得，教师的作用主要是传递知识，学生只是程序性地获得知识，学习动机主要靠外部强化;“知识建构型”教学是一种认知主义教学观，习得知识主要靠自主建构，学生要结合自身已掌握知识形成知识网络框架来获取新知识，教师的作用转变为引导学生建构知识。在科技发达、信息量巨大的当下，教育方式必须转变，才能适应新工科背景下应用型人才培养的新要求。因此，在新工科背景下，结合大学生的学习心理认知，将数学建模新思想融入线性代数中具有很强的实际意义。
三、数学建模思想与线性代数教学融合路径
理论联系实际，知识紧扣应用。数学建模不仅使学生掌握抽象的代数知识，还可以培养学生的运算能力和综合运用所学知识去分析、解决问题的能力，两者的融合可从以下三个路径开展：
1.结合实际问题，激发学生的学习兴趣。线性代数本质是实际问题抽象出来的数学语言，要想增强对这门课的理解就需要适当地回归到实际问题中，厘清每个概念定理的背景，自然而然地引入每个知识点。引入最新科技前沿的案例，引导学生挖掘线性代数的丰富内涵，让学生体会到线性代数的广泛应用，激发学生的学习兴趣，培养他们的实践应用能力。如在讲解矩阵的乘法时，可以结合图像的变换。随着电子科技的不断发展，图形的几何变换应用在动画片制作、仿真模拟设计、电子游戏开发等诸多领域，图形的平移、旋转、缩放等都能由矩阵实现，这能够让学生很好地理解矩阵乘法概念及其在实际生活中的用处;再如讲授矩阵的逆时，教师可以结合密码的编译，说明矩阵的破译过程就是求逆的过程，让学生深刻掌握这一概念。
2.通过模型建立，引入理论知识。在线性代数教学中融入数学建模思想，促进理论知识与实际问题的结合，利用讲解一道数学建模问题引出所学知识点，更加深了学生对知识点的印象与理解。例如，可以通过网络流模型引出线性方程组求解问题的讲解。在交通、电力、运输、通讯、城市规划、任务分配以及计算机辅助设计等诸多领域，网络流模型得到广泛应用，给工程问题的解决带来诸多便利，一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成，大多数网络流模型中的方程组包含数百个线性方程，要确定每一分支的流量就是解线性方程组，利用矩阵的一些特性，自然而然地引入线性方程组的相关知识点。
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3.加强建模训练，培养动手能力。仅仅通过教师的讲解，学生可能只是一时豁然开朗，并不能自己去解决实际问题，还需多加训练。因此，课后作业可以不再只布置一些与考试有关的内容，而应增加学生自主学习的机会，布置一些贴近生活实际的问题，让学生自主动手动脑研究思考，课上交流心得收获，并鼓励学生充分利用现代科技软件进行数学建模分析研究，最终达到学生思维活跃敏捷、动手能力强的效果。
四、“新工科”背景下线性代数教学案例
数学建模思想融入教学是利用数学建模思想来解决数学问题，即将问题简化，根据简化后的问题寻找基本规律，在对客观规律进行分析后，通过表象发现本质，提高学生运用知识的能力。以应用实例来说明。
1.数学建模思想在矩阵计算方面的应用。计算机网络技术快速发展，信息化以及网络数据化已经是大势所趋。上网者主要靠搜索引擎获取信息，获得满意结果的背后主要是PageRank算法在起作用，PageRank算法的搜索结果主要按照网页的重要性来排序，可以通过网页的投票数这一概念来界定网页的重要性，网页投票数可以理解为网页的链接数。PageRank的核心思想是：①若某一网页的投票数即链接网页多就说明这个网页相对重要，即PageRank值较高;②网页的pagerank值会随着链接到其他网页的pagerank值大小变化而变化。简而言之，通过PageRank可以大体计算上网者在各个网页上的概率，上网者先随机打开一个网页，然后在网页上的跳转满足随机性。现假定网页链接是一个有向图，网页是结点，网页间的链接用箭头表示，如图1所示：
求上网者最终在网页1，2，3，4上的概率。
（1）模型假设。
①假设可访问网页总数为[n]，网页[W]能链接到[m]个网页，网络链接矩阵定义为[P=pij∈Rn×n]，其中
[Pij=1m，若网页j有一链接跳转到网页i0，否则（i，j=1，2，3，4）]
②假设网页W的投票数越多，则网页W越重要;
③假设指向网页W的质量越高，则W越重要。
（2）模型建立：
本例中含有4个网页，假设上网者目前在浏览网页1，则此上网者分别有[13]的概率链接到网页2，3，4，其中[13]中的分母3表示网页1可链接到其他3个网页，即若一个网页能连接到m个网页，则随机转到其他任一网页的概率为[1m]，其他网页的跳转概率也可由此方法得到，由此可得上图对应的转移矩阵为：
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[P=0;12;1;013;0;0;1213;0;0;121312;0;0]
（3）模型求解。
初始时上网者在每一网页的概率假设相等即为[1n]，所以最开始的概率分布为所有值都为[1n]的n维列向量，此例中列向量[Q0=14141414]，则可通过公式[Q1=PQ0]得到跳转一次后的概率分布向量[Q1]：
[Q1=PQ0=][0;12;1;013;0;0;1213;0;0;121312;0;0][14141414]=[924524524524]
可见[Pij≠0]表示有一链接从网页j指向网页i，则[q11]表示所有网页到网页1的概率为[924];以此类推，可以求出跳转任意次的概率分布向量，当跳转无穷次时[Q]会收敛，即[Qn=PQn-1]，通过不停地迭代，最终可以得到
[Q=][39292929]
即最终上网者停留在网页1的概率为[39]，在网页2，3，4的概率为[29]。
此例讲解的是最简单的PageRank模型，让学生初步了解了搜索引擎背后的原理，在今后的学习中能够知道所学习的矩阵的用处，灵活运用理论知识。PageRank算法还可运用在城市交通轨道站点选址、基础网络设计等问题中，可提高选址的准确性与有效性。
2.数学建模思想在逆矩阵方面的应用。在科技发达、信息技术不断发展的今天，信息安全问题时有发生，保密通信工作提上日程，保密通信模型是实现信息安全的一种有效方法。矩阵是线性代数课程中的重要内容，是工科中常用的有效工具，其在保密通信模型中有着突出贡献。下面主要介绍融入数学建模思想的可逆矩阵加密技术。[3]
（1）保密通信数学模型。保密通信模型的两个重要组成部分是发送方的明文串和接收方的密文串，加密信息传输过程主要包括发送方将需要传输的信息通过某种自定义算法转换成密文发送给接收方，经过相应的算法，接收方再将接收到的密文转换为明文信息。简要的通信技术模型如图2：
显然要使信息传输有效，密文串必须能被翻译成明文串。假设明文串数据接收方未知为X，密文矩阵为A，有方程[A=BX]，可见[B]为发送方向接收方传送信息的加密矩阵，若[B]可逆方程组有唯一解，[B-1]为接收方的解密矩阵，这样接收方就可通过[X=B-1A]获得明文信息。又由矩阵的乘法可知，要想求出结果，左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数，所以在设计加密矩阵[B]时应注意此规则。
（2）保密通信数学模型的应用案例。在某次机密谈判中，假设甲方需将明文good加密发出，可将26个英文字母分别与数字1-26一一对应，并且双方假定加密矩阵为：[B=1;21;1]。
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甲方要发出去的明文转换为代码分别为7，15，15，4，根据矩阵乘法原则及加密矩阵的阶数，确定明文矩阵为[X=7;1515;4]，再根据矩阵方程[A=BX]，得密文矩阵[A]：
[A=BX=1;21;27;1515;4=37;2322;19]，
也就是最终明文信息以数字代码37，22，25，19发出。
当乙方收到密文矩阵时，可以利用双方协定好的加密矩阵[B-1=-1;21;-1]获取有用信息明文矩阵[X]：
[X=B-1A=-1;21;-137;2322;19=7;1515;4]
将明文矩阵代码转换为英文即为good，乙方在不失信息安全的情况下获得了双方约定的有用信息。
而此处又有
[AB-1=37;2322;19-1;21;-1=14;51-325]
此密文串无法转换成原来的明文串good，也就说明[B-1A]与[AB-1]的表达意义并不一样。
通过以上保密通信数学模型的讲解，让学生进一步巩固了矩阵乘法的运用，又学到了有关矩阵的逆的相关概念;同时有[AB-1≠AB-1]，可以让学生清晰地掌握求解矩阵方程组时要注意是左乘还是右乘，以及矩阵的乘法不满足交换律。在满足学生学习兴趣的同时，结合现代社会需求，让学生通过一个模型掌握了线性代数中多个重要的知识点。
基于培养学生知识应用能力，将数学建模思想融入线性代数教学的改革，順应“新工科”建设培养创新型、应用型高素质人才的诉求。本研究结合大学生学习心理的研究，给出了符合时代发展要求的创新型案例，旨在培养学生对数学的学习兴趣，锻炼学生理论联系实际的能力，让学生能够真正运用所学知识分析、解决现实问题，养成良好的分析问题、解决问题的习惯，使工科学生能够得心应手地运用数学知识解决自己学科领域的问题。本文中给出的案例也只是基础性的，在线性代数课程中融入数学建模思想的教学改革仍处在探索阶段，还需要更加深入的实践研究。
参考文献：
[1]钟登华.新工科建设的内涵与行动[J].高等工程教育研究，2017，（3）：1-6.
[2]杜允.大学生学习心理研究述评[J].南阳师范学院学报，2012，11（11）：101-103+107.
[3]张新文，王佳.基于可逆矩阵加密技术的保密通信数学模型[J].西南师范大学学报（自然科学版），2017，42（2）：166-170.
责任编辑;陈;佩
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篇六：新工科理念下的线性代数
在编写过程中编者根据卓越计划的基本要求教学内容突出基本概念基本理论和基本技能注重培养学生的数学素质着力改变以往工科线性代数教学中重运算技巧轻数学思想的倾向强调数学的基本思想基本方法如强调基本概念及各个概念之间的固有联系重视阐明基本理论的脉络等注意对基本概念和定理的几何背景与实际应用背景的介绍淡化某些特殊技巧的处理充分利用计算机技术和数学软件解决问题
《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划”的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降低理论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。
由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。
19世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士•西尔维斯特(J.Sylvester,18141894)。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去x的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。
继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩
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阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。线性方程组线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
19世纪，英国数学家史密斯(H.Smith)和道奇森(C-L.Dodgson)继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。
大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。二次型二次型也称为“二次形式”，数域？上的？元二次齐次多项式称为数域？上的？元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)建立的。
柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。
1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。从解方程到群论
求根问题是方程理论的一个中心课题。16世纪，数学家们解决了三、四次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和
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精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。到了18世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关
系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼(Ruffini,1765-1862)也做了许多努力，但都以失败告终。高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里取得了很大进展。阿贝尔(N.K.Abel,1802-1829)只活了27岁，他一生贫病交加，但却留下了许多创造性工作。1824年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。
伽罗瓦(E.Galois,1811-1832)仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解。从这种意义上，我们说伽罗瓦是群论的创立者。伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝，1832年5月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅21岁。.
置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源。抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金(R.Dedekind,1831-1916)和克罗内克(L.Kronecker,1823-1891)的有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱(A.Kayley,1821-1895)关于有限抽象群的研究工作。另外，克莱因(F.Clein,1849-1925)和庞加莱(JH.Poincare,1854-1912)给出了无限变换群和其他类型的无限群，19世纪70年代，李(M.S.Lie,1842-1899)开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。
1882-1883年，迪克(W.vondyck,1856-1934)的论文把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到19世纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。
20世纪80年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要作用。
线性代数理论是计算技术的基础，同系统工程、优化理论及稳定性理论等有着密切联系。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础，是高等院校理工类专业必修的一门数学基础课。
2010年我校施行“卓越工程师教育培养计划”以来，以教育部倡导的“按通用标准和行业标准培养工程人才、强化培养学生的工程能力和创新能力”为宗旨，大力推行教育教学改革，本书在此基础上孕育而生。在编写过程中，编者根据“卓越计划”的基本要求，教学内容突出基本概念、基本理论和基本技能，注重培养学生的数学素质，着力改变以往工科线性代数教学中重运算技巧、轻数学思想的倾向，强调数学的基本思想、基本方法(如强调基本概念及各个概念之间的固有联系，重视阐明基本理论的脉络等)，注意对基本概念和定理的几何背景与实际应用背景的介绍，淡化某些特殊技巧的处理，充分利用计算机技术和数学软件解决问题。在习题配置中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。
根据实践教学和实际应用中的特点，本书的内容也与以往教材有所变化。考虑到工程实际中碰到的具体问题都是求解一个阶数确定的行列式，在教材编写以及教学过程中适当降低行列式计算的教学要求，不必要也不应该把精力放在牵涉到很高计算技巧和大量复杂计算中，而应该让学生掌握由具体到一般、由低阶到高阶的数学思想方法；其次，由于矩阵在实际工程中几乎是无处不在、无处不用的数学工具，它是将实际问题与数学理论联系在一起的桥梁，而学生往往在理论与实际相结合方面有所欠缺，因此我们在教材中适量增加矩阵的教学内容，提高矩阵的教学要求，使学生对矩阵的重要性及应用性有充分的认识，提高学生的数学素养和培养学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力。另外，注意培养学生利用计算机解决实际问题的能力，将线性代数应用和计算中经常使用的软件，如Mathematica、MATLAB、Maple等的使用说明和经常使用的命令，对应各章节的教学内容编入教材附录中，支持和鼓励学生上机，利用数学软件来解决线性代数课程中遇到的各类计算，并引导学生通过自己编程来解决一些简单的实际问题。
本书由吴隋超策划、组织编写，并负责统稿、定稿。全书共5章，第1章和第2章前四节由吴隋超编写，2.5、2.6节和第3章由沈军编写，第4章和第5章由俞卫琴编写。
在本书的编写过程中得到了上海工程技术大学教务处、基础教学学院分管领导和数学教学部全体教师的关心和大力支持，张子厚教授就本书的编写提出了指导性的意见，在此表示衷心的感谢。
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本书虽经多次讨论，反复修正，但限于编者水平，加之教学改革中的一些问题有待进一步探索，缺点和疏漏之处在所难免，恳请使用本书的老师和同学批评指正。
线性代数有什么用？这是每一个圈养在象牙塔里，在灌输式教学模式下的“被学习”的学生刚刚开始思考时的第一个问题。我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由，竟然也罗列了不少，不知道能不能说服你：
1、如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助；2、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。
3、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L.戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲。他在自己的数学名著《数学概观》中说：
要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。…，如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。
4、如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代：l想搞数学，当个数学家（我靠，这个还需要列出来，谁不知道线代是数学）。恭喜你，你的职业未来将是最光明的。如果到美国打工的话你可以找到最好的职业（参考本节后附的一份小资料）。
l想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。
l想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。
l想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（WassilyLeontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。
l相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。
l对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。
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l另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。
嘿嘿（脸红），说实在的，我也没有足够经验讲清楚线代在各个工程领域中的应用，只能大概人云亦云地讲述以上线代的一些基本应用。因为你如果要真正的讲清楚线代的一个应用，就必须充分了解所要应用的领域内的知识，最好有实际的工程应用的经验在里面；况且线性代数在各个工程领域中的应用真是太多了，要知道当今成为一个工程通才只是一个传说。
总结一下，线性代数的应用领域几乎可以涵盖所有的工程技术领域。如果想知道更详细的应用材料，建议看一下《线性代数及应用》，这是美国DavidC.Lay教授写的迄今最现代的流行教材。国内的教材可以看看《线性代数实践及MATLAB入门》，这是西电科大陈怀琛教授写的最实用的新教材。
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