篇一：△△=a,△-△=b
七年级数学第二学期第十五章平面直角坐标系定向测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知点A（x+2，x﹣3）在y轴上，则x的值为（）
A．﹣2B．3C．0D．﹣32、从车站向东走400米，再向北走500米到小红家，从小强家向南走500米，再向东走200米到车站，则小强家在小红家的（）
A．正东方向
B．正西方向
C．正南方向
D．正北方向
3、平面直角坐标系内一点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（2，﹣3）
B．（3，﹣2）
C．（﹣2，﹣3）
D．（2，3）
4、平面直角坐标系中，下列在第二象限的点是（）
A．(1,0)
B．(3,?5)
C．(?1,8)
D．(?2,?1)
5、△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A"B"C′，则点P的坐标是（）
A．（4，5）
B．（4，4）
C．（3，5）
D．（3，4）
6、已知点A(a,2)关于x轴的对称点A?与点B(3,b)关于y轴的对称点B?重合，则a?b?（）
A．5B．1C．?1D．?57、将点P（2，﹣1）以原点为旋转中心，顺时针旋转90°得到点P"，则点P"的坐标是（）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣1，2）
D．（﹣1，﹣2）
8、点（a，﹣3）关于原点的对称点是（2，﹣b），则a＋b＝（）
A．5B．﹣5C．1D．﹣19、若点P(m,?2)在第三象限内，则m的值可以是（）
A．2B．0C．?2D．?210、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），若AB∥x轴，且AB＝5，当点B在第二象限时，点B的坐标是（）
A．（﹣9，3）
B．（﹣1，3）
C．（1，﹣3）
D．（1，3）
第Ⅱ卷（非选择题70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知点A的坐标为?a,b?，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点О顺时针旋转90°得到线段OA1，则点A1的坐标为______．
2、已知点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，则x＋y＝_____．
3、在平面直角坐标系中，点（－2，5）关于原点对称的点的坐标是___________．
4、平面直角坐标系中，已知点A(?3,2)，B(x,y)，且AB∥x轴，若点B到y轴的距离是到x轴距离的2倍，则点B的坐标为________．
5、在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点Q的坐标是（﹣3，2），则点P关于y轴的对称点R的坐标是_____．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、在平面直角坐标系xoy中，A，B，C如图所示：请用无刻度直尺作图（仅保留作图痕迹，无需证明）．
（1）如图1，在BC上找一点P，使∠BAP＝45°；
（2）如图2，作△ABC的高BH．
2、如图1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）如图3，点E为第一象限内一点，点F为y轴正半轴上一点，连接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF中点．连接EG，EO，求证：∠OEG＝45°．
3、在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的
例如：点P（2，1）的
（2）已知A（t，1），B（t-3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）.①当t=-1，且直线m与y轴平行时,点A的
②当直线m经过原点时，若△ABC的
4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，5），B（1，1），C（3，2)（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的图形及各顶点的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2的图形及各顶点的坐标；
（3）求出△ABC的面积．
5、已知点A（1，﹣1），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长都为1）画出△ABC；
（2）作△ABC关于x轴对称的△DEF，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F；
（3）连接CE，CF，请直接写出△CEF的面积．
6、已知点P（3a﹣15，2﹣a）．
（1）若点P到x轴的距离是1，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的坐标；
（3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．
7、在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点(m，0)，且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点P1，称为点P的一次反射点；将点P1关于直线l的对称点P2，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M(3，2)的一次反射点为M1(3，－2)，点M关于直线l：x＝1的二次反射点为M2(－1，－2)．
已知点A(－1，－1)，B(－3，1)，C(3，3)，D(1，－1)．
（1）点A的一次反射点为，点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为；
（2）点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，则a的值为；
（3）设点A，B，C关于直线l3：x＝t的二次反射点分别为A2，B2，C2，若△A2B2C2与△BCD无公共点，求t的取值范围．
8、已知点P?2a?2,a?5?，解答下列各题．
（1）点P在x轴上，求出点P的坐标；
（2）点Q的坐标为=?4,5?，直线PQ∥y轴；求出点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2201?2021的值．
9、在平面直角坐标系中描出以下各点：A（3，2）、B（-1，2）、C（-2，-1）、D（4，-1）．顺次连接A、B、C、D得到四边形ABCD；
10、如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(2，4)．
（1）画出ABC关于原点O对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）画出ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点A2,B2,C2的坐标．
-参考答案-一、单选题
1、A【分析】
根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
【详解】
解：∵点A（x+2，x﹣3）在y轴上，∴x+2=0，解得x=-2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
2、B【分析】
根据二人向同一方向走的距离可知二人的方向关系，解答即可．
【详解】
解：二人都在车站北500米，小红在学校东，小强在学校西，所以小强家在小红家的正西．
【点睛】
本题考查方向角，解题的关键是画出相应的图形，利用数形结合的思想进行解答．
3、B【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P"（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【详解】
解答：解：点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是：（3，﹣2）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4、C【分析】
由题意直接根据第二象限点的坐标特点，横坐标为负，纵坐标为正，进行分析即可得出答案．
【详解】
解：A、点（1，0）在x轴，故本选项不合题意；
B、点（3，-5）在第四象限，故本选项不合题意；
C、点（-1，8）在第二象限，故本选项符合题意；
D、点（-2，-1）在第三象限，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5、B
【分析】
对应点的连线段的垂直平分线的交点P，即为所求．
【详解】
解：如图，点P即为所求，P(4,4)，故选：B．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化?旋转，解题的关键是理解对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
6、D【分析】
点A(a,2)关于x轴的对称点A?(a，-2)，点B(3,b)关于y轴的对称点B?(-3，b)，根据A?(a，-2)与点B?(-3，b)是同一个点，得到横坐标相同，纵坐标相同，计算a，b计算即可．
【详解】
∵点A(a,2)关于x轴的对称点A?(a，-2)，点B(3,b)关于y轴的对称点B?(-3，b)，A?(a，-2)与点B?(-3，b)是同一个点，∴a=-3，b=-2，∴a?b?-5，故选D．
【点睛】
本题考查了坐标系中点的轴对称，熟练掌握对称时坐标的变化规律是解题的关键．
7、D【分析】
如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F．
∵∠PEO＝∠OFP′＝∠POP′＝90°，∴∠POE+∠P′OF＝90°，∠P′OF+∠P′＝90°，∴∠POE＝∠P′，∵OP＝OP′，∴△POE≌△OP′F（AAS），∴OF＝PE＝1，P′F＝OE＝2，∴P′（﹣1，-2）．
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等
三角形解决问题．
8、B【分析】
根据关于原点对称的点的坐标特证构造方程-b＝3，a＝?2，再解方程即可得到a、b的值，进而可算出答案．
【详解】
解：∵点（a，﹣3）关于原点的对称点是（2，﹣b），∴?b＝3，a＝?2，解得：b＝-3，a＝?2，则a?b??2?3??5，故选择B．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标：掌握关于原点对称的特征，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（?x，?y）．关键是利用对称性质构造方程．
9、C【分析】
根据第三象限内点的特点可知横纵坐标都为负，据此判断即可．
【详解】
解：∵点P(m,?2)在第三象限内，∴m??m的值可以是?2故选C
【点睛】
本题考查了第三象限内点的坐标特征，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0．
10、A【分析】
根据平行及线段长度、点B在第二象限，可判断点B一定在点A的左侧，且两个点纵坐标相同，再由线段长即可确定点B的坐标．
【详解】
解：∵AB∥x轴，AB?5且A??4,3?，点B在第二象限，∴点B一定在点A的左侧，且两个点纵坐标相同，∴B??4?5,3?，即B??9,3?，故选：A．
【点睛】
题目主要考查坐标系中点的坐标，理解题意，掌握坐标系中点的特征是解题关键．
二、填空题
1、（b，－a）
【分析】
设A在第一象限，画出图分析，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°得OA1，如图所示．根据旋转的性质，A1B1＝AB，OB1＝OB．综合A1所在象限确定其坐标，其它象限解法完全相同．
【详解】
解：设A在第一象限，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°得OA1，如图所示．
∵A（a，b），∴OB＝a，AB＝b，∴A1B1＝AB＝b，OB1＝OB＝a，因为A1在第四象限，所以A1（b，﹣a），A在其它象限结论也成立．
故答案为：（b，﹣a），【点睛】
本题考查了图形的旋转，设点A在某一象限是解题的关键．
2、﹣5【分析】
利用关于x轴对称的点的坐标特点可得x、y的值，进而可得答案．
【详解】
解：∵点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，∴x＝﹣2，y＝﹣3，∴x＋y＝﹣5，故答案为：﹣5．
【点睛】
本题考查了坐标与图象变化的轴对称问题，如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A
的横坐标不变，纵坐标为相反数．相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变．
3、（2，-5）
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．
【详解】
解：根据中心对称的性质，得点P（-2，5）关于原点对称点的点的坐标是（2，-5）．
故答案为：（2，-5）．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，比较简单．
4、?4,2?或??4,2?
【分析】
根据AB平行x轴，两点的纵坐标相同，得出y=2，再根据点B到y轴的距离是到x轴距离的2倍，得出x?2y?4即可．
【详解】
解：∵点A(?3,2)，B(x,y)，且AB∥x轴，∴y=2，∵点B到y轴的距离是到x轴距离的2倍，∴x?2y?4，∴x??4，∴B（-4，2）或（4，2）．
故答案为（-4，2）或（4，2）．
【点睛】
本题考查两点组成线段与坐标轴的位置关系，点到两轴的距离，掌握两点组成线段与坐标轴的位置关系，与x轴平行，两点纵坐标相同，与y轴平行,两点的横坐标相同，点到两轴的距离，到x轴的距离为|y|，到y轴的距离是|x|是解题关键．
5、(3,?2)
【分析】
根据题意直接利用关于x轴、y轴对称点的性质进行分析即可得出答案．
【详解】
解：∵点P关于x轴的对称点Q的坐标是（﹣3，2），∴点P的坐标为（﹣3，﹣2），∴点P关于y轴的对称点R的坐标是（3，﹣2），故答案为：（3，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查关于x轴、y轴对称点的性质，正确掌握横、纵坐标的关系是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点B作MQ∥x轴，过点A作AM⊥MQ于点M，过点N作NQ⊥MQ于点Q，连接BN，连接AN交BC于点P，则∠BAP=45°，先证得△ABM≌△BNQ，可得AB=BN，∠ABM=∠BNQ，从而得到∠ABN=90°，即可求解；
（2）在x轴负半轴取点Q，使OQ=2，连接BQ交AC于点H，则BH即为△ABC的高．过点B作BG⊥x轴于点G，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=GQ=1，CD=BG=6，∠ADC=∠BGQ=90°，先证得△ACD≌△QBG，从而得到∠ACD=∠QBG，进而得到∠CHQ=90°，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，过点B作MQ∥x轴，过点A作AM⊥MQ于点M，过点N作NQ⊥MQ于点Q，连接BN，连接AN交BC于点P，则∠BAP=45°，如图所示，点P即为所求，理由如下：
根据题意得：AM=BQ=5，BM=QN=3，∠AMB=∠BQN=90°，∴△ABM≌△BNQ，∴AB=BN，∠ABM=∠BNQ，∴∠BAP=∠BNP，∵∠NBQ+∠BNQ=90°，∴∠ABM
+∠BNQ=90°，∴∠ABN=90°，∴∠BAP=∠BNP=45°；
（2）如图，在x轴负半轴取点Q，使OQ=2，连接BQ交AC于点H，则BH即为△ABC的高．
理由如下：
过点B作BG⊥x轴于点G，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=GQ=1，CD=BG=6，∠ADC=∠BGQ=90°，∴△ACD≌△QBG，∴∠ACD=∠QBG，∵∠QBG+∠BQG=90°，∴∠ACD
+∠BQG=90°，∴∠CHQ=90°，∴BH⊥AC，即BH为△ABC的高．
【点睛】
本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据SAS即可证明△AOB?△COD；
（2）过点C作CH∥x轴，交BD于点H，得出AB∥CH∥OD，由平行线的性质得?BAP??HCP，由CD?x轴得?DCH??ODC?90?，由△AOB?△COD得OB?OD，故可得?ODB?45?，从而得出?CHD??CDH?45?，推出CH?CD?AB，根据AAS证明ABP?CHP，得出AP?CP即可得证；
（3）延长EG到M，使GM?GE，连接AM，OM，延长EF交AO于点J，根据SAS证明AGM?FGE，得出AM?EF，?AMG??GEF，故AM∥EJ，由平行线的性质得出?MAO??AJE，进而推出?MAO??ECO，根据SAS证明MAO?ECO，故OM?OE，?AOM??EOC，即可证明?OEG?45?．
【详解】
（1）AB?y轴于点B，CD?x轴于点D，??ABO??CDO?90?，A(?2,6)，C(6,2)，?AB?CD?2，OB?OD?6，?AOB?COD(SAS)；
（2）
如图2，过点C作CH∥x轴，交BD于点H，?AB∥CH∥OD，??BAP??HCP，CD?x轴，??DCH??ODC?90?，AOB?COD，?OB?OD，??ODB?45?，?CHD??ODB?45?，?CDH?90??45??45?，?CH?CD?AB，在△ABP与CHP中，??APB??CPH???BAP??HCP，?AB?CH??ABP?CHP(AAS)，?AP?CP，即点P为AC中点；
（3）
如图3，延长EG到M，使GM?GE，连接AM，OM，延长EF交AO于点J，AG?GF，?AGE??FGE，GM?GE，?AGM?FGE(SAS)，?AM?EF，?AMG??GEF，?AM∥EJ，??MAO??AJE，EF?EC，?AM?EC，?AOC??CEJ?90?，??AJE??EJO?180?，?EJO?ECO?180?，??AJE??ECO，??MAO??ECO，AO?CO，?MAO?ECO(SAS)，?OM?OE，?AOM??EOC，??MOE??AOC?90?，??MEO?45?，即?OEG?45?．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，利用做辅助线作全等三角形是解决本题的关键．
3、（1）（3，2）
（2）①（3，-1）；②-1＜t＜1或2＜t＜4【分析】
（1）点Q先关于x轴对称的点坐标为??3,2?，再关于y轴对称的点坐标为?3,2?，故可得点的伴随图形点Q?坐标；
（2）①t??1时，A点坐标为??1,1?，直线m为x?1，此时点A先关于x轴对称的点坐标为??1,?1?，再关于m轴对称的点坐标为?3,?1?，进而得到点的伴随图形点A"坐标；②由题意知直线m为直线y?x，A、B、C三点的?x轴，m?的伴随图形点坐标依次表示为：??1,t?，??1,t?3?，??3,t?，由题意可得t?1，或t?3?1解出t的取值范围即可．
（1）
解：由题意知??3,?2?沿x轴翻折得点坐标为??3,2?；
??3,2?沿y轴翻折得点坐标为?3,2?
故答案为：?3,2?．
（2）
①解:．t??1，A点坐标为??1,1?，直线m为x?1，??1,1?沿x轴翻折得点坐标为??1,?1?
??1,?1?沿直线x?1翻折得点坐标为??1?2?1???1??,?1?即为?3,?1?
故答案为：?3,?1?
②解：∵直线m经过原点
∴直线为y?x
∴A、B、C的伴随图形点坐标先沿x轴翻折，点坐标依次为?t,?1?，?t?3,?1?，?t,?3?；
然后沿直线y?x翻折，点坐标依次表示为：??1,t?，??1,t?3?，??3,t?
由题意可知：t?1或t?3?1解得：?1?t?1或2?t?4【点睛】
本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来．
4、（1）图见解析，A1（2，-5）B1(1，-1)，C1（3，-2)；
（2）图见解析，A2（-2，5），B2（-1，1），C2（-3，2）；（3）3.5【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得，然后写出坐标；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得，然后写出坐标；
（3）利用割补法求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(2，-5)，B1(1，-1)，C1(3，-2)；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2(-2，5)，B2(-1，1)，C2(-3，2)；
111（3）△ABC的面积=2?4??2?1??3?1??4?1=3.5．
222【点睛】
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
5、（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）?CEF的面积为2．
【分析】
（1）直接在坐标系中描点，然后依次连线即可；
（2）先确定A、B、C三点关于x轴对称的点的坐标，然后依次连接即可；
（3）根据三角形在坐标系中的位置，确定三角形的底和高，直接求面积即可．
【详解】
解：（1）如图所示，?ABC即为所求；
（2）A、B、C三点关于x轴对称的点的坐标分别为：D?1,1?，E??1,?1?，F??3,?1?，然后描点、连线，∴?DEF即为所求；
（3）由图可得：??????????=2×2×2=2，∴?CEF的面积为2．
【点睛】
题目主要考查在坐标系中作轴对称图形及点的坐标特点，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
6、（1）a?1或a?3；（2）Q(?12,4)或Q(?6,2)；（3）P(?6,?1)或P(?3,?2)．
【分析】
（1）根据“点P到x轴的距离是1”可得2?a?1，由此即可求出a的值；
（2）先根据（1）的结论求出点P的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得；
（3）先根据“点P位于第三象限”可求出a的取值范围，再根据“点P的横、纵坐标都是整数”可求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】
解：（1）点P到x轴的距离是1，且P(3a?15,2?a)，?2?a?1，即2?a?1或2?a??1，解得a?1或a?3；
（2）当a?1时，点P的坐标为P(?12,1)，则点Q的坐标为Q(?12,1?3)，即Q(?12,4)，当a?3时，点P的坐标为P(?6,?1)，则点Q的坐标为Q(?6,?1?3)，即Q(?6,2)，综上，点Q的坐标为Q(?12,4)或Q(?6,2)；
（3）点P(3a?15,2?a)位于第三象限，?3a?15?0??，解得2?a?5，2?a?0?点P的横、纵坐标都是整数，?a?3或a?4，当a?3时，3a?15??6,2?a??1，则点P的坐标为P(?6,?1)，当a?4时，3a?15??3,2?a??2，则点P的坐标为P(?3,?2)，综上，点P的坐标为P(?6,?1)或P(?3,?2)．
【点睛】
本题考查了点到坐标轴的距离、象限内点的坐标特点、点的坐标平移规律和一元一次不等式组的解法等知识，属于基础题，熟练掌握平面直角坐标系的基本知识是解题关键．
7、（1）(－1，1)；(5，1)；（2）-2；（3）t＜－2或t＞1．
【分析】
（1）根据一次反射点和二次反射点的定义求解即可；
（2）根据二次反射点的意义求解即可；
（3）根据题意得A1，B1，C1，分t＜0和t＞0时△A2B2C2与△BCD无公共点，求出t的取值范围即可．
【详解】
解：（1）根据一次反射点的定义可知，A（-1，-1）一次反射点为（-1，1），点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为（5，1）
故答案为：(－1，1)；(5，1)．
（2）∵A(－1，－1)，B(－3，1)，且点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，∴?1?a?a?(?3)
解得，a??2故答案为：
－2．
（3）由题意得，A1(－1，1)，B1(－3，－1)，C1(3，－3)，点D(1，－1)在线段A1C1上．
当t＜0时，只需A1关于直线x＝t的对称点A2在点B左侧即可，如图1．
∵当A2与点B重合时，t＝－2，∴当t＜－2时，△A2B2C2与△BCD无公共点．
当t＞0时，只需点D关于直线x＝t的二次反射点D2在点D右侧即可，如图2，∵当D2与点D重合时，t＝1，∴当t＞1时，△A2B2C2与△BCD无公共点．
综上，若△A2B2C2与△BCD无公共点，t的取值范围是t＜－2，或t＞1．
【点睛】
本题考查了轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．
8、（1）P??12,0?；
（2）P?4,8?；
（3）a2201?2021?202【分析】
（1）利用x轴上P点的纵坐标为0求解即可得；
（2）利用平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列方程求解即可；
（3）在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等的点的横纵坐标互为相反数，再利用相反数的性质列方程求解可得a??1，将其代入代数式求解即可．
（1）
解：∵点P在x轴上，∴P点的纵坐标为0，∴a?5?0，解得：a??5，∴2a?2??12，∴P??12,0?．
（2）
解：∵直线PQ∥y轴，∴2a?2?4，解得：a?3，∴a?5?8，∴P?4,8?．
（3）
解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，∴2a?2?a?5?0．
解得：a??1．
∴a2201?2021???1?2201?2021?2020，∴a2201?2021的值为2020．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标特点．分别考查了坐标轴上点的坐标特点、平行于坐标轴的直线上点坐标的特点、到坐标轴距离相等的点的坐标特点，理解题意，熟练掌握坐标系中不同条件下的坐标特点是解题关键．
9、见解析
【分析】
根据各点的坐标描出各点，然后顺次连接即可
【详解】
解：如图所示：
【点睛】
本题考查了坐标与图形，熟练掌握相关知识是解题的关键
10、（1）作图见解析，（-1，﹣1）；（2）作图见解析，（-1，1），（-2，3），（-4，2）；
【分析】
（1）根据A（1，1），B（3，2），C（2，4）．即可画出△ABC关于原点O对称的的△A1B1C1，进而可以写出点A1的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；进而可以写出点的坐标即可．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，所以点A1的坐标为：（-1，﹣1）；
（2）△A2B2C2即为所求；
点A2,B2,C2的坐标分别为：（-1，1），（-2，3），（-4，2）；
【点睛】
本题考查了作图﹣旋转变换和中心对称变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
篇二：△△=a,△-△=b
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
第六章
微分中值定理及其应用
一、填空题
?1．若a?0,b?0均为常数，则lim??x?03ax?bx?x?2????________。
x?bsinx1?，则a?______，b?______。2．若lim1?acosx
2x?03．曲线y?ex在x?0点处的曲率半径R?_________。
4．设y?4xx?4?2，则曲线在拐点处的切线方程为2___________。
(1?5．limx?01x)x?ex?2___________。
?1)(x?4)6．设f(x)?x(x区间；，则f?(x)?0有_________个根，它们分别位于________7．函数f(x)?xlnx在?1,2?上满足拉格朗日定理条件的??__________；
8．函数f(x)?x与g(x)?1?x在区间?0,2?上满足柯西定32理条件的??_____；
9．函数y?sinx在?0,2?上满足拉格朗日中值定理条件的??____；
10．函数exf(x)?2x的单调减区间是__________；
11．函数y?x3?3x的极大值点是______，极大值是
A.没有实根
B.有两个实根
C.有无穷多个实根
D.有且仅有一个实根
(x)?2，5．已知f(x)在x?0处某邻域内连续，lim1?fcosxx?0则在x?0处f(x)()。
A.不可导
B.可导且f"(0)?2C.取得极大值
D.取得极小值
6．设函数f(x)在区间?1,???内二阶可导，且满足条件f(1)?f?(1)?0，x?1时f??(x)?0，则g(x)?()A．必存在一点?，使f(?)?B．必存在一点?，使f?(?)?C．单调减少
D.单调增加
f??(x)7．设f(x)有二阶连续导数，且f?(0)?0，lim?1，x?0xf(x)x在?1,???内则()A．f(0)是f(x)的极大值
B.f(0)是f(x)的极小值
C．?0,f(0)?是曲线y?f(x)的拐点
D．f(0)不是f(x)的极值，?0,f(0)?也不是曲线y?f(x)的拐点
8．若f(x)和g(x)在x?x0处都取得极小值，则函数
F(x)?f(x)?g(x)在x?x0处()A．必取得极小值
B.必取得极大值
C.不可能取得极值
D.是否取得极值不确定
9．设y?y(x)由方程x3?ax2y2?by3?0确定，且y(1)?1，x?1是驻点，则()531,b?
C.a?,b?
D.a??2,b??3A.a?b?3B.a?3222210．曲线y?(x?1)2(x?3)2的拐点的个数为()A.B.1C.2D.311．f(x),g(x)是大于0的可导函数，且，则当a?x?b时有()f"(x)g(x)?f(x)g"(x)?0A．f(x)g(b)?f(b)g(x)
B.f(x)g(a)?f(a)g(x)
C.f(x)g(x)?f(b)g(b)
D.f(x)g(x)?f(a)g(a)
12．曲线y?12exx2?x?1arctan?x?1??x?2?的渐近线有()A．1条
B.2条
C.3条
D.4条
13．f(x)?x3?2x?q的O点的个数为()A．1B.2C.3D.个数与q有关
14．曲线?1x???t??b?1?t?1?则曲线()A．只有垂直渐近线
B.只有水平渐近线
C．无渐近线
D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线
15．设y?f(x)为y???y??esinx?0的解，且f?(x0)?0，则f(x)有()A．x0的某个邻域内单调增加
B．x0的某个邻域内单调减少
C．x0处取得极小值
D．x0处取得极大值
16.罗尔定理中的三个条件;(a,b)f(x)在[a,b]上连续,在内可导,且f(a)?f(b)是f(x)在(a,b)内至少存在一点
必要条件
(D)(B)?,使得f?(?)?0成立的().
(A)
充分条件
(C)充要条件
既非充分也非必要
17.下列函数在[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是().(A)
ln(lnx);
(D)(B)
lnx
;
(C)
1lnx;
ln(2?x);1218.若f(x)在开区间(a,b)内可导,且x,x是(a,b)内任意两点,则至少存在一点?使得下式成立().
(B)
(A)(C)f(x2)?f(x1)?(x1?x2)f?(?)f(x1)?f(x2)?(x12??(a,b);?x)f?(?)
x???x
12f(x1)?f(x2)?(x2?x1)f?(?)f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(?)
x1???x2x1???x2(D)19.设y?f(x)是(a,b)内的可导函数,x,x??x是(a,b)内的任意两点,则().(A)
?y?f?(x)?x
(B)(C)
在x,x??x之间恰有一个?,使得?y?f?(?)?x
在x,x??x之间至少存在一点?,使得?y?f?(?)?x
对于x与x??x之间的任一点?,均有?y?f?(?)?x
2(D)20.若f(x)在开区间(a,b)内可导,且对(a,b)内任意两点恒有f(x)?f(x)?(x?x),则必有().(A)
f?(x)?(B)
x1,x22121f?(x)?x
(C)
f(x)?x
(D)
f(x)?c(常数)21.已知函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4),则方程f?(x)?0有().(A)(B)(C)分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内的三个根;四个根,它们分别为x1?1,x2?2,x3?3,x4?4;四个根,分别位于(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);
分别位于区间(1,2),(1,3),(1,4)内的三个根;f(?)?0,(x??)f?(x)?0(D)22.若f(x)为可导函数,?为开区间(a,b)内一定点,而且有,则在闭区间[a,b]上必总有
(C)().(A)
f(x)?f(x)?0(B)
f(x)?f(x)?(D)
223.若a?3b?0,则方程f(x)?x3?ax2?bx?c?0().
(A)
无实根
(D)f(x)(B)
有唯一实根
[a,??](C)
有三个实根
24.若().(A)
有重实根
上二次可微,且
(x?a),则方程f(x)?0在[a,??]上(B)在区间f(a)?A?0,f?(a)?0,f??(a)?没有实根
(D)
有重实根
(C)
有无穷多实根
x?x有且仅有一个实根
x?x0x?x0f(x)f?(x)f(x)limlim25.设limg为未定型,则存在是也(x)g?(x)g(x)存在的().(A)
必要条件
(B)
充分条件
(C)
充要条件
(D)
既非充分也非必要条件
226.指出曲线y?3?xx的渐近线().(A)(B)(C)
没有水平渐近线,也没有斜渐近线;
x?3为垂直渐近线,无水平渐近线;
既有垂直渐近线,又有水平渐近线;
只有水平渐近线.1x2(D)27曲线y?e(A)x2?x?1arctan(x?1)(x?2)(B)的渐近线有().(C)
1条
;
4条
;
2条
;
3条
;
(D)?cos2x在x?取得极值，则a?28．
函数f(x)?acosx?123（）。
(A)
0；
2。
(B)
12；
(C)
1；
(D)29．
下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（）。
(A)
sin2xf(x)?3x?x；；
(B)
x2?3f(x)?x?1；
(C)ef(x)?ln(3?)x(D)
f(x)?xe?x2。
30．
(A)limxx?111?x=（）。
(B)
1；
?。e?1；
(C)
e；
(D)三、计算题
1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f′(ξ)=0：
（1）f(x)=11??xsin,0?x?,xπ???0,x?0;
（2）f(x)=|x|,
—|≤x≤|.2.求下列不定式极根:(1)ex?1limx?0sinxlim;
(2);
(4)limlimxx?61-2sinxcosx;(3)1n(1?x)-xx?0cosx-1tgx-xx?0x-sinx;
(5)(7)(9)limxx?2tgx-6secx?5sinx;
(6)11lim(?x)x?0xe?111-x;x?0?lim(tgx);
(8);
(10);
(12)limxx?1;;x???lim(1?x)12xx?0?limsinxlnx1(11)11lim(2?)x?0xsin2xtgxx2lim()x?0x.3.求下列不定式极限:?1)(1)limlncos(x?;xx?11?sin2(2)lim(π?2arctgx)lnx;x???(3)(4)(5)(6)(7)(8)x?0sinxlimx?
tg2xlim(tgx)xx?4ln(1?x)(1?x)1lim?2x?0xx1lim(ctgx?)x?0x;;1lnxlim(1?x)?ex?0x1xx???lim(?arctgx)2?.4.求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:(1)f(x)=x3+4x2+5,在x=1处;1,在x=0处;(2)f(x)=1?x
(3)f(x)=cosx的马克林公式.5.求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：
（1）f(x)=arctgx到含x5的项；
（2）f(x)=tgx到含x5的项.6.求下列极限:(1)exsinx?x(1?x)1??2lim;(2)limx?xln(1?)?x?0x???x3x??x?0;1(?ctgx).(3)lim1xx7.估计下列近似公式的绝对误差:(1)(2)x31sinx?x?,当|x|?62xx21?x?1??,28;当x∈[0,1].8.计算:(1)数e准确到10-9;(2)lg11准确到10-5.1.确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=3x-x3;
(2)f(x)=2x2-lnx;(3)f(x)=2x?x2;
(4)f(x)=x2?1x.9.求下列函数的极值.2x(1)f(x)=2x3-x4;
(2)f(x)=1?;x2(3)f(x)=(|nx)2x2;
(4)f(x)=arctgx-1ln(1+x).210.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1)y=x5-5x4+5x3+1,[-1,2];(2)y=2tgx-tg2x,[0,?];2(3)y=xlnx,(0,+∞).11.把长为1的线段截为两段,问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12.一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V时,要使容器的表面积为最小,问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13.设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2,…,an.问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？
14.求下列函数的极值:(1)f(x)=|x(x-1)|;
(2)f(x)=f(x)=(x-1)2(x+1)3.15.设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2处都取得极值;试定出a与b的值;并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值?16.求正数a,使它与其倒数之和为最小.2x(x2?1)x4?x2?1;
(3)
17.要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(见图7-1).轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米(β>α),试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18.确定下列函数的凸性区间与拐点:(1)y=2x3-3x2-36x+25;
(2)y=x+1;x2(3)y=x2+1;
(4)y=ln(x+1);x19.问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx3的拐点?
四、证明题
1.证明：
（1）方程x3—3x+c=0（这里C为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；
（2）方程xn+px+q=0(n为自然数，p，q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。
2.证明：（1）若函数f在[a，b]上可导，且f?(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a);(2)若函数f在[a,b]上可导，且|f?(x)|≤M，则|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；
（3）对任意实数x1,x2,都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
abb?a?1n?（1）b?，其中00.24.设函数f在[a,b]上可导。证明：存在ξ∈（a,b），使得
2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f?(ξ).5.设函数在点a具有连续的二阶导数。证明：
limh?0f(a?h)?f(a?h)?2f(a)f""(a)2h.6.试讨论函数f(x)=x2,g(x)=x3在闭区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？
7.设0<α<β
2sina?sin??ctgcos??cosaθ.8.设h>0，函数f在[a-h,a+h]上可导。证明：
?f(a?h)（1）f(a?h)h；
?f"(a??h)?f"(a??h)，θ∈（0，1）?f(a?h)（2）f(a?h)?f(a)?f"(a??h)?f"(a??h)，θ∈（0，1）.h
9.以S(x)记由（a,f(a)）,(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。
10.若函数f,g和h在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，证明存在实数ξ∈(a,b)，使得
f(a)
g(a)
h(a)f(b)
g(b)
h(b)f"(?)
g"(ξ)
h"(ξ)=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
11.设f为[a,b]上二阶可导函数，且f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈（a,b）使得f(c)>0.证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f??(ξ)<0.12.证明达布定理：若f在[a,b]上可导，且f?(a)≠f?(b),k为介于f?(a)与f?(b)之间的任一实数，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f?(ξ)=k.13.设函数f在（a,b）内可导，且f＇单调。证明f＇在（a,b）内连续。
14.证明：设f为n阶可导函数，若方程f（x）=0有n+1个相异实根，则方程f(n)(x)=0至少有一个实根。
15.设p(x)为多项式，α为p(x)=0的r重实根。证明
：α必定是p＇(x)=0的r-1重实根。
16.证明：
（1）设f在（a,+∞）上可导,若limf(x)和limf"(x)都x???x???存在,则limf"(x)=0;x???
(2)设f在(a,+∞)上n阶可导.若limf(x)和limfx???kx???(x)都存在,则
x???limfk(x)=0,(k=1,2,…,n)。
17.设函数f在点a的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:f(a?h)?f(a-h)-2f(a)lim?f""(a)
hh?0218.对函数f在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有
f(x)-f(0)=f＇(θx)x,θ∈(0,1).试证对下列函数都有lim??1;2x?0(1)f(x)=ln(1+x);
(2)f(x)=ex.19.设f(0)=0,f＇在原点的某邻域内连续,且f＇(0)=0.证明:x?0f(x)limx?1?.x???x???20.证明定理6.5中limf(x)?0,limg(x)?0情形时的罗比塔法则:若
(i)limfx?0,lim(x)?x???x???(ii)存在M0>0,使得f与g在(M0,+∞)内可导,
且g＇(x)≠0;(iii)∞),则
f(x)f"(x)?lim?Ax???g(x)x???g"(x)lim3?x2f"(x)f"(x)?lim?Ax???g"(x)x???g"(x)lim(A为实数,也可为±∞或
21.证明:f(x)?xe为有界函数.22.应用函数的单调性证明下列不等式.(1)tgx>x-(2)x3π,x?(0,)33;;
2xπ?sinx?x,x?(0,)π2(3)23.设
π2x2x??|n(1?x)?x?,x?022(1?x)?421?xsin,x?0,f(x)??x?x?0?0,
.(1)证明:x=0是函数f的极小值点;(2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24.证明:设f(x)在(a,b)内可导,f(x)在x=b连续,则当f?(x)≥0(a
f?_(x0)>0(<0),则x0为f的极大(小)值点.26.证明：若函数f,g在区间[a,b]上可导,且f?(x)>g?(x),f(a)=g(a),则在?a,b?内有f(x)>g(x).?π?x??0,??2?x?,
27.证明:tgxxsinx.28.证明:(1)若f为凸函数,λ为非负实数,则λf为凸函数;(2)若f、g均为凸函数，则f+g为凸函数；
(3)若f为区间I上凸函数,g为J?f(I)上凸的递增函数,则gof为I上凸函数.29.设f为区间I上严格凸函数.证明:若X0∈I为f的极小值点,同x0为f在I上唯一的极小值点.30.应用凸函数概念证明如下不等式:(1)对任意实数a,b,有ea?b21?(ea?eb)2;(2)对任何非负实数a,b,有
a?b?2arctg???≥arctga+arctgb.2??31.证明:若f.g均为区间I上凸函数,则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I上凸函数.32.证明:
(1)f为区间I上凸函数的充要条件是对I
上任意三点x1 1xf(x1)1Δ?1x2f(x2)1xf(x3)3≥0. (2)f为严格凸函数的充要条件是对任意x1 (1)设ai>0(i=1,2,…n)，有 n111????a1a2an?na1a2?an?a1?a2???ann. (2)设ai,bi>0(I=1,2,…,n),有 1mq1aibi?(?a)(?bi)?pi?18i?1i?1pnn，其中P>0,q>0,1?=1.pq 五、考研复习题 1.证明:若f(x)在有限开区间(a,b)内可导,且limf(x) ?limf(x),则至少存在一点ξ∈a,b),使x?a?x?b?f?(ξ)=0.(1)12x??(x)1??(x)?;,其中1422.证明:若x>0,则 x?1?x?1,lim?(x)?.(2)lim?(x)?142x?0x???3.设函数f在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且ab>0. 证明存在ξ∈(a,b),使得 b1a ?f(?)??f?(?)f(b)a?bf(a) .4.设f在[a,b]上三阶可导,证明存在ξ∈(a,b),使得 11f(b)?f(a)?(b?a)[f?(a)?f?(b)]?(b?a)3f???(?)212.5.对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有 0?11??1ln(1?x)x.6.证明:若函数f在区间[a,b]上恒有f??(x)>0,则对(a,b)内任意两点x1,x2,都有 f(x1)?f(x2)?x?x2??f?1?2?2?,其中等号仅在x1=x2时才成立.7.证明:第6题中对(a,b)内任意n个点x1,x2…,xn也成立 ?n?x??k?1nf(xk)?f?k?1??nk?1?n?????，其中等号也仅在x1=x2=…=xn时才成立。 8.应用第7题的结果证明：对任意n个正数x1,x2,…,xn恒成立 x1?x2???xnn?x1x2?xnn，即算术平均值不小于几何平均值。 9.设a1,a2,…,an为n个正实数，且 ?a?a???af(x)???n?x1x2xn????1x 证明：（i）limf(x)?x??na1a2?an12xn （ii）limf(x)?max?a,a?a? x??10.求下列极限： （1）lim(1?x)x?1?12ln(1?x)；； （2）xex?ln(1?x)limx?0x2（3）limx?0x2sinsinx1x.11.证明:若函数f在点a二阶可导,且f??(a)≠0,则对拉格朗日公式 f(a+h)-f(a)=f?(a+θh)h,0<θ<1中的θ有limθ?12h?012.设h>0,函数f在U(a,h)内具有n+2阶连续导数,且f(n+2)(a)≠0,f在U(a,h)内的泰勒公式为 f(a+h)=f(a)+f?(a)h+…+f(n)(a)nf(n?1)(a??h)n?1h?hn!(n?1)!,0<θ<1.证明:limθ?n1.?2h?13.设函数f在[a,b]上二阶可导,f?(a)?f?(b)?0.证明存在一点ξ∈(a,b),使得 f??(?)?4f(b)?f(a)(b?a)214.设a,b>0,证明方程x3+ax+b=0不存在正根.15.设k>0,试问k为何值时,方程arctgx-kx=0存在正根.16.证明:对任一多项式p(x)来说,一定存在点x1与x2,使p(x)在(x1,+∞)与(-∞,x2)上分别为严格单调.17.证明:当x∈[0,1]时有不等式 12p?1≤Xp+(1+x)p≤1(其中实数p>1).18.讨论函数 f(x)=1?x2??xsin,x?0,x?2??0,x?0, (1)在x=0点是否可导?(2)在x=0的任何邻域内函数是否单调?19.设函数f在[0,a]上具有二阶导数,且|f??(x)|≤M,f在(0,a)内取得最大值.证明:|f?(0)|+|f?(a)|≤Ma.20.设f在?0,???上可微,且0≤f?(x)≤f(x),f(0)=0.证明:在?0,???上f(x)≡0. 21.设f(x)满足f??(x)+f?(x)g(x)-f(x)=0,其中g(x)为任一函数.证明:若f(x0)=f(x1)=0(x0 山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类④一．分式方程的应用（共1小题）1．（2023?济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2023?聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2023?枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2023?济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若（3）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 五．全等三角形的判定与性质（共1小题）5．（2023?聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．六．菱形的性质（共1小题）6．（2023?滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．七．切线的判定与性质（共1小题）7．（2023?聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．八．圆的综合题（共1小题）8．（2023?滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆交于点D．（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；（2）求证：AB：AC＝BF：CF；（3）求证：AF2＝AB?AC﹣BF?CF；（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）九．作图—复杂作图（共1小题）9．（2023?滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023?聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等 景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）11．（2023?聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 组和第 组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 生有 人； ；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议． 一十二．列表法与树状图法（共1小题）12．（2023?枣庄）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 名，“D烹饪与营养”的男生有 名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类④参考答案与试题解析一．分式方程的应用（共1小题）1．（2023?济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得1.2．答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据题意，得：，＝，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝解得：≤m≤．∵m为整数，∴m＝14，15，16．∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．∵A型机床的单价低于B型机床的单价，∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）． 二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2023?聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．【答案】（1）反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），一次函数为y＝﹣x+3；（2）n＝﹣．【解答】解：（1）反比例函数y＝的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，∴m＝﹣1×4＝a?（﹣1），∴m＝﹣4，a＝4，∴反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），把A、B的坐标代入y＝kx+b得解得，，∴一次函数为y＝﹣x+3；（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，∴四边形APQB是平行四边形，∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），∵点Q在y＝﹣上，∴5+n＝，解得n＝﹣．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2023?枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象见解答；（2）x＜﹣2或0＜x＜4； （3）点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（m，1），B（﹣2，n）两点，∴1＝，n＝解得：m＝4，∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），将A（4，1），B（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b，得，＝﹣2，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象如图所示：（2）由图可得，不等式kx+b﹣＜0的解集范围是x＜﹣2或0＜x＜4；（3）设直线AB交x轴于C，交y轴于D，在y＝x﹣1中，当x＝0时，y＝﹣1，∴D（0，﹣1），当y＝0时，得x﹣1＝0，解得：x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，∵P（0，a），A（4，1），∴PD＝|a+1|，∵S△APC＝，∴|a+1|?（4﹣2）＝，解得：a＝或﹣，∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2023?济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若（3）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）当m为时，四边形CDNP是平行四边形；或．（3）存在这样的m值，使MN＝2ME，此时m的值为【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴点B（4，0），点C（0，4），设抛物线的解析式为，把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：，解得：，＝﹣x2+3x+4；∴抛物线的解析式为 y＝（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），∴PN＝﹣m2+3m+4，当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，∴D（0，m2﹣3m） N（m，0），设直线MN的解析式为 把 N（m，0）代入可得 解得：k1＝3﹣m，∴直线MN的解析式为 y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为 ∴M（3﹣m，﹣m2+3m+4），∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，解得m1＝∴当m为 （不合题意，舍去），m2＝时，四边形CDNP是平行四边形；；，，，（3）存在，理由如下：∵对称轴为x＝，设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），∴M点横坐标为：×2﹣m＝3﹣m，∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），①如图1，∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x＝上，∴E（，），又点E在直线BC：y＝﹣x+4，代入得：＝﹣+4，解得：m＝或（舍去），故此时m的值为．②如图2，设E点坐标为（n，﹣n+4），N（m，0），M（3﹣m，﹣∵MN＝2ME，∴0﹣（﹣m2+3m+4）＝2（﹣m2+3m+4+n﹣4）①，∴3﹣m﹣m＝2（n﹣3+m）②，m2+3m+4），联立①②并解得：m＝综上所述，m的值为或（舍去）或．，五．全等三角形的判定与性质（共1小题）5．（2023?聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，∴∠BAE＝∠CED，在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA；（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED为等边三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，过A点作AF⊥ED于F，∴EF＝ED＝2，∴AF＝，∴S△AED＝ED?AF＝．六．菱形的性质（共1小题）6．（2023?滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．【答案】（1）S＝（0≤x≤4），．（2）当x＝2时，S有最大值，最大值为2【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，∵顶点A的坐标为（2，2∴OA＝∴cos∠AOG＝＝，），，OG＝2，AG＝2，∴∠AOG＝60°，∵四边形OABC是菱形，∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥OB，AO＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵DE⊥OB，∴DE∥AC，∴∠EDO＝∠ACO＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴ED＝OD＝x，∵DF∥OB，∴△CDF∽△COB，∴∵A（2，2∴OB＝∴∴DF＝∴S＝∴S＝（2）∵S＝＝，（4﹣x），＝（0≤x≤4），＝．（0≤x≤4），，，），AO＝4，则B（6，2，），∴当x＝2时，S有最大值，最大值为2七．切线的判定与性质（共1小题）7．（2023?聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）15﹣3．【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ODE，∴∠OED＝∠CDE，∴OE∥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥AB，∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DF，∵CD＝12，tan∠ABC＝，∴BF＝∴BD＝＝16，＝20，∴BC＝CD+BD＝32，∴AC＝BC?tan∠ABC＝24，∴∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，＝12，∴∴，，，．解得EO＝15﹣3∴⊙O的半径为15﹣3八．圆的综合题（共1小题）8．（2023?滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆交于点D．（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；（2）求证：AB：AC＝BF：CF；（3）求证：AF2＝AB?AC﹣BF?CF；（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）【答案】见解答．【解答】（1）解：过点F作FH⊥AC，FG⊥AB，垂足分别为H、G，如图：∵点E是△ABC的内心，∴AD是∠BAC的平分线，∵FH⊥AC，FG⊥AB，∴FG＝FH，∵S△ABF，S△ACF，∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，如图，∵S△ABF＝，S△ACF＝，∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．∴AB：AC＝BF：FC，（3）证明：连接DB、DC，如图，∵，，∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，∴△BFD∽△AFC，∴BF?CF＝AF?DF，∵，∴∠FBA＝∠ADC，又∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC，∴，∴AB?AC＝AD?AF，∴AB?AC＝（AF+DF）?AF＝AF2+AF?DF，∴AF2＝AB?AC﹣BF?CF．（4）连接BE，如图，∵点E是△ABC的内心，∴BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠FBE，∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，∴△ABD∽△BFD，∴，∴DB2＝DA?DF，∵∠BED＝∠BAE+∠ABE＝+，+，∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE＝∴∠BED＝∠DBE，∴DB＝DE，∴DE2＝DA?DF，九．作图—复杂作图（共1小题）9．（2023?滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明） 【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】解：（1）如图：Rt△ABC即为所求；（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，求证：CE＝AB，证明：延长CE到D，使得DE＝CE，∵CD是AB边上的中线，∴BE＝AE，∴四边形ACBD是平行四边形，∵∠BCA＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴CE＝CD＝AB．一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023?聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50） 【答案】明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，则四边形ADEB是矩形，∴DE＝AB＝520m，设PD＝xm，在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，∴AD＝≈m，∴BE＝AD＝m，∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°＝，解得x＝800，∴PD＝800m，∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m． 一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）11．（2023?聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 ③ 组和第 ③ 组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 28% ；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 560 人；（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．【答案】（1）③，③，28%，560；（2）估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；（3）①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．【解答】解：（1）∵第③组的人数最多，∴一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第③组；∵抽取100名进行调查，第50名、51名学生均在第③组，∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；由题意得：（20+8）÷100×100%＝28%，∴一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为28%；2000×28%＝560（人），即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人；故答案为：③，③，28%，560；（2）由题意可知，每组的平均阅读时间分别为1.5小时，2.5小时，3.5小时，4.5小时，5.5小时，∴＝3.4（小时），答：估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；（3）一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生的人数的百分比为28%，∵28%＜40%，∴此次开展活动不成功；建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．一十二．列表法与树状图法（共1小题）12．（2023?枣庄）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 20 名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 2 名，“D烹饪与营养”的男生有 1 名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博 览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）20；2；1；（2）见解答；（3）．【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），所以本次调查中，一共调查了20名学生，“C家用器具使用与维护”的女生数为25%×20﹣3＝2（名），“D烹饪与营养”的男生数为20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名）；故答案为：20；2；1；（2）选择“D烹饪与营养”的人数所占的百分比为：补全上面的条形统计图和扇形统计图为：×100%＝10%，（3）画树状图为：共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12，所以所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．篇三：△△=a,△-△=b